Cette semaine, j’aimerais aborder le sujet de l’évaluation des options en utilisant le modèle binomial à une période pour le faire. L’objectif de cet article est de comprendre le principe qui permet d’évaluer les options. Tout d’abord, évaluer une option c’est trouver l’espérance mathématique du prix de celle-ci. Pour simplifier, disons que l’espérance mathématique du prix d’une option représente la moyenne des prix qui pourraient être obtenus d’aujourd’hui jusqu’à l’échéance. Pour ce faire, il suffit d’aller se placer à l’échéance et de calculer toutes les valeurs possibles de cette option. C’est à partir de ces prix que nous pouvons revenir en arrière et trouver la valeur actuelle du prix de l’option. Pourquoi se positionner à l’échéance? Tout simplement parce que la valeur d’une option à l’échéance est facile à trouver puisqu’elle est égale à la valeur intrinsèque de l’option. La valeur intrinsèque d’une option d’achat est égale à la valeur maximale entre le prix de l’action (S) et le prix de levée (K), et zéro, soit max(S-K; 0). Pour l’option de vente, c’est max(K-S; 0).

Le modèle binomial nous permet de projeter dans le temps des scénarios de prix que pourrait prendre le titre sous-jacent. C’est ensuite à partir de ces prix que nous pouvons calculer la valeur des options à l’échéance. Prenons un exemple avec une option d’achat échéant dans un an et ayant un prix de levée (K) de 28 $ dont le prix de l’action (S) se négocie à 28 $. Veuillez prendre note que plus on utilise de périodes entre le prix d’aujourd’hui et l’échéance, plus le prix de l’option sera précis. Cependant, pour des fins de simplification, nous utiliserons un arbre binomial à une seule période, c’est-à-dire que nous irons nous projeter directement à l’échéance en ne faisant qu’un seul bond à partir de notre point de départ d’aujourd’hui. Dans notre arbre, la valeur de l’action à l’échéance ne pourra prendre que deux valeurs, soit une valeur (Su) à la hausse de 30 $ et une valeur (Sd) à la baisse de 26 $.

Maintenant nous avons besoin de construire un portefeuille (V) constitué de l’action et de l’option, de telle manière que la valeur du portefeuille à la hausse (Vu) au prix de 30 $ soit égale à la valeur du portefeuille à la baisse (Vd) au prix 26 $ (Vu = Vd). Donc, notre portefeuille (V) au point de départ devra être constitué d’une fraction d’action, que nous appellerons (Δ S) et de la vente de l’option d’achat, que nous appellerons (C). Par conséquent,

V = Δ S – C.

À l’échéance, lorsque Su = 30, la valeur de Cu (la valeur de l’option d’achat à la hausse) est égale à 2 $ (max(30 $ - 28 $; 0)) alors que lorsque Sd = 26 $, la valeur de Cd (la valeur de l’option d’achat à la baisse) est égale à 0 $ (max(26 $ - 28 $; 0 $).

Nous avons donc
Vu = Δ S – Cu = Δ x 30 $ - 2 $ et Vd = Δ S – Cd = Δ x 26 $ - 0 $.

Nous savons que Vu = Vd, par conséquent,

Δ 30 $ - 2 $ = Δ 26 $ - 0 $,

ce qui implique que Δ = 0,50. En substituant la valeur Δ = 0,50 dans les portefeuilles Vu et Vd, nous avons maintenant,

Vu = 0,50 x 30 $ - 2 $ = 13 $ et Vd = 0,50 x 26 $ = 13 $,
Vu = Vd = 13 $.

Les deux portefeuilles Vu et Vd ont la même valeur de 13 $. Pour obtenir ce résultat il fallait trouver la valeur de Δ qui nous informe sur le nombre d’actions qu’il faut détenir dans le portefeuille (V) du point de départ. Nous avons donc maintenant

V = Δ S – C = 0,5 x 28 $ - C.

Nous voulons trouver la valeur de C au point de départ (aujourd’hui), soit

C = 0,5 x 28 $ - V.

Comme nous connaissons la valeur de V dans un an puisque Vu = Vd = 13 $ alors tout ce que nous avons à faire c’est d’actualiser la valeur de Vu au taux d’intérêt sans risque pour trouver la valeur de V. Supposons un taux d’intérêt sans risque de 1% :

V = Valeur actuelle de Vu = 13 $ / (1 + 0,01) = 12,87 $,
V = 12,87 $.

Par conséquent,

C = 0,05 x 28 $ - 12,87 $ = 1,13 $.

Notre option d’achat vaut donc 1,13 $. Voilà!

Revue de la semaine
Alors que les nouvelles économiques publiées ce vendredi aux États-Unis et au Canada confirment la reprise de l’économie, les dossiers de la Grèce et de Goldman Sachs continuent d’alimenter les craintes des investisseurs. En effet, la Grèce, dont le plan d’aide pourrait être approuvé ce weekend, a vu sa cote de crédit être rabaissée, tout comme celle du Portugal et de l’Espagne. Du côté de Goldman Sachs, la nouvelle que des poursuites au criminel pourraient être intentées par la justice américaine a incité plusieurs maisons de courtage à réduire leur appréciation du titre lui faisant perdre près de 10 % de sa valeur.

Malgré la volatilité quotidienne, le XIU a tout de même réussi à trois reprises à toucher à des nouveaux hauts pour revirer à chaque fois. Le XIU termine la semaine avec une faible baisse de 0,22%.

C’est le XFN qui est source d’inquiétude cette semaine avec une baisse de 1,67 %. Le XFN fait du surplace depuis plusieurs semaines avec un biais à la baisse. La performance de ce secteur aura un impact sur celle du marché en général. Le niveau de soutien se situe aux alentours de 23 $. Le XFN sera donc à surveiller car une brèche sous ce prix pourrait confirmer une nouvelle tendance baissière.

Le XEG a terminé en baisse de 0,32 % à 18,76 $ alors que le XGD connaissait une excellente semaine en terminant en hausse de 6,51 % dans la foulée de la hausse du prix de l’or qui est alimenté par l’incertitude de la situation en Europe.

Le dollar américain a repris ce qu’il avait perdu la semaine dernière et est tout près de confirmer un renversement de tendance à la hausse.

Les tendances principales sont toujours à la hausse et celle du dollar américain est à la baisse.

Le tableau suivant illustre le prix de fermeture en date du vendredi 30 avril ainsi que la tendance principale à moyen terme (un mois ou plus).

Bonnes transactions et bonne semaine!